19.03 Задачи формата ЕГЭ

Заметим, что количество нулей в конце числа равно количеству пятерок в его разложении на простые множители. Действительно, каждый 0 эквивалентен в разложении на простые, при этом в факториале двоек в разложении всегда больше, чем пятерок. Это так, поскольку а факториал — произведение некоторого количества подряд идущих натуральных чисел, начиная с 1, то есть двойки просто появляются чаще.

а) Нам нужно, чтобы факториал содержал ровно 9 пятерок. Будем по одному добавлять числа, кратные 5, по возрастанию, пока не наберем

Таким образом, 40! подойдет.

б) Очевидно, что количество нулей в конце факториала не убывает. Также заметим, что следующие числа имеют одинаковое количество нулей на конце, так как степени вхождения пятерки в них одинаковые:

Рассмотрим снова числа, кратные 5:

Несложно видеть, что 95! имеет 22 нуля на конце, а 100! имеет уже 24 нуля на конце. Значит, искомого не существует.

в) Рассмотрим натуральные числа от 1 до 99. Заметим, что эти числа симметричны относительно числа 50 с точки зрения степени вхождения 5 в разложение на простые множители.

Таким образом, для любого натурального следующие два числа имеют одинаковое количество нулей на конце:

Подставив получим, что следующие два числа имеют одинаковое количество нулей на конце, иначе говоря, содержат 10 в равных степенях:

Тогда следующие два числа эквивалентны с точки зрения нашей задачи, то есть содержат 10 в равных степенях:

Осталось понять, при каких число содержит 10 ровно в 23 степени. Мы уже знаем, что 99! содержит 10 в 22 степени, значит, должно быть кратно 5, но не кратно Несложно посчитать, что среди чисел от 1 до 99 существует 16 таких

Это красивое решение задачи. Также пункт в) несложно решается перебором.