19.03 Задачи формата ЕГЭ

Число делится на 11, если разность суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных делится на 11.

а) Нам нужно составить такое число, чтобы разность его суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных делилась на 11. Попробуем сделать так, чтобы такая разность была равна 0. Заметим, что

Тогда можем составить число .

б) Рассмотрим какое значение может принимать разность суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных, если мы можем переставлять только цифры , , , и .

Так как в итоге будет получаться пятизначное число, то на нечетных местах стоят 3 цифры, а на четных — 2. Тогда разность максимальна, если на нечетных местах стоят три наибольшие цифры, а на четных — две наименьшие, то есть

Аналогично оценим минимальную разность. Если на нечетных местах стоят три наименьшие цифры, а на четных — две наибольшие, то разность минимальна, то есть

Значит, если из цифр , , , и можно составить число, которое делится на 11, то разность суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных должна быть равна 0, то есть сумма цифр в нечетных разрядах равна сумме цифр в четных. Это значит, что сумма всех цифр должна быть четной, но . Следовательно, 12345 не является хорошим числом.

в) Докажем, что число, составленное из всех пяти нечетных цифр, не будет делиться на 11. Предположим обратное, пусть такое число можно составить. Пусть — сумма его цифр, стоящих в нечетных разрядах, а — сумма цифр в четных разрядах. Тогда

Понятно, что на нечетных местах стоят ровно три нечетные цифры, поэтому — нечетное число. Тогда — четное. Значит, разность — нечетное число. Так как мы предположили, что составленное нами число делится на 11, то тоже кратно 11.

Оценим : сумма цифр в нечетных разрядах минимальна, если сами цифры в них минимальны, тогда . Сумма цифр в нечетных разрядах максимальна, если сами цифры в них максимальны, тогда .

Аналогично оценим и получим, что . Тогда

Следовательно, если кратно 11, то , так как должно быть нечетным. Значит, можем составить систему:

Заметим, что никогда не может быть равно 7, так как должно быть четным. Тогда не существует числа, состоящего из всех пяти нечетных цифр, которое делится на 11.

Рассмотрим наибольшее четырехзначное число, состоящее из различных нечетных цифр. Это число . Заметим, что

Значит, число является хорошим, так как число кратно 11.