19.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Примером двадцати таких чисел является последовательнось 5014, 5015, …, 5032, 5033. Среди этих чисел есть три очень счастливых: 5014, 5023 и 5032.

б) Предположим, что разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел может равняться 2016. Пусть — десятичная запись меньшего из них, а — десятичная запись большего из них.

Из условия следует, что либо либо, если при сложении и 2016 в разряде десятков был переход через десяток, Тогда

Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Аналогично из условия следует, что либо либо Тогда

Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. По условию

Но числа и дают разные остатки при делении на 9. Противоречие.

в) Покажем, что искомое простое число равно 11. Для начала приведем пример очень счастливого четырёхзначного числа, которое делится на 2, 3, 5 и 7 — число 1890.

Теперь докажем, что не существует очень счастливого четырёхзначного числа, кратного 11. Пусть — запись какого-либо очень счастливого числа, которое делится на 11. Тогда

Значит, число кратно 11. Поскольку и — цифры, отсюда следует, либо либо либо

В первом случае имеем и Вычитая эти равенства, получаем то есть — противоречие, поскольку все цифры должны быть различны.

Во втором случае и Вычитая эти равенства, получаем то есть — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначные чисел, кратных 11.