19.03 Задачи формата ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске были написаны несколько натуральных чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, разность которых делится на 5.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 70, если изначально на доске по одному разу были написаны все натуральные числа от 27 до 38 включительно?
б) Могло ли на доске остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру 6, если изначально на доске по одному разу были написаны квадраты целых чисел от 112 до 217 включительно?
в) Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны квадраты целых чисел от 112 до 217 включительно. Какое наибольшее значение может иметь отношение оставшихся на доске чисел?
а) Достаточно стирать числа следующим образом:
Тогда на доске останутся числа 33 и 37, сумма которых и есть 70.
б) Рассмотрим отдельно процесс стирания чисел, кратных 5.
Так как число 5 — простое, то квадрат числа делится на 5 тогда и только тогда, когда и само это число делится на 5. Итак, пусть
— одно из чисел на доске 
Пусть при этом число 
было стёрто вместе с числом 
Тогда
существует 
такое, что
Отсюда следует, что 
делится на 5, следовательно, и само 
должно делиться на 5.
Итак, мы доказали, что числа, кратные 5, могут стираться только в паре друг с другом. Но сколько их на доске? Их количество равно
Тогда все такие числа в принципе нельзя стереть, так как одному из них обязательно не найдётся пары, ведь их количество нечётно.
Произведение двух чисел, одно из которых кратно 5, может оканчиваться на 0 или на 5, но не на 6. Следовательно, на доске не могло остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру 6.
в) Наибольшее значение отношения двух чисел могло бы быть равно 
но мы знаем из решения пункта б), что из двух
оставшихся чисел ровно одно делится на 5. Тогда наибольшее отношение может быть равно 
или 
Какое из этих
чисел больше?
Нетрудно убедиться, что
Итак, отношения большего, чем 
нам не получить. Попробуем получить хотя бы его.
Заметим теперь, что разность квадратов двух целых чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из условий:
1) их сумма делится на 5;
2) их разность делится на 5.
Таким образом, можно считать, что на доске выписаны сами числа от 112 до 217 включительно, но стирать можно пару, для которой выполнено хотя бы одно из условий 1), 2), а мы хотим оставить числа 112 и 215.
Для этого будем стирать числа следующим образом:
Здесь разность чисел в каждой паре делится на 5. В первом столбце в итоге стираются все числа от 113 до 122 включительно. Во втором столбце стираются все числа от 123 до 132 включительно и так далее.
Теперь на доске остались числа
Избавиться от неугодных чисел можно так:
Здесь сумма чисел в каждой паре делится на 5.
Итак, мы добились того, чего хотели, следовательно, наибольшее значение отношения оставшихся на доске чисел равно
а) Да
б) Нет
в) 
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), либо обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и в) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б), пукнты а) и в) не решены | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в), пукнты а) и б) не решены | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), пукнты б) и в) не решены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
