19.03 Задачи формата ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
a) Может ли на доске быть 24 четных числа?
б) Может ли на доске быть ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
а) Рассмотрим 24 первых натуральных четных числа:
Их сумма равна:
Осталось подобрать 6 чисел, которые оканчиваются на 7. Возьмем 6 первых таких чисел:
Их сумма равна 192.
Тогда общая сумма равна 
Это на 18 меньше, чем требуемая сумма. Тогда мы можем увеличить одно из
четных чисел на 18, например, 
и получить следующий пример:
б) Пусть из 30 написанных на доске чисел только два оканчиваются на 7. Тогда 28 оставшихся четны. Возьмем 28 первых натуральных четных чисел. Их сумма равна
Значит, сумма любых 28 четных натуральных чисел не меньше чем 812. Но сумма написанных на доске 30 натуральных чисел, 28 из которых четны, должна быть равна 810. Такое невозможно.
в) Заметим, что число 810 кратно 2, сумма четных чисел тоже кратна 2, тогда и сумма чисел, оканчивающихся на 7, должна быть кратна 2. Чтобы сумма нечетных чисел делилась на 2, слагаемых должно быть четное количество.
В предыдущем пункте мы доказали, что чисел, оканчивающихся на 7, на доске не может быть два или меньше. Тогда наименьшее возможное количество таких чисел — четыре. Построим пример на четыре числа, оканчивающихся на 7. Возьмем четыре наименьших таких числа:
Их сумма равна 88.
Осталось подобрать 26 четных натуральных чисел, сумма которых будет равна 
Возьмем 25 первых четных
чисел, их сумма равна
Тогда последнее 26-е число равно 
и пример на четыре числа, оканчивающихся на 7:
а) Да
б) Нет
в) 4
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
