19.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Предположим, что выполняется равенство

Тогда где — натуральное число. Так как — двузначные числа, то наименьшее значение их суммы равно

Возьмем Тогда Следовательно, можно взять, например,

Ответ: да.

б) Предположим, что может быть

Перепишем это равенство в другом виде:

Докажем, что

Из этого будет следовать, что предположение неверно и такое равенство невозможно. Рассмотрим первое неравенство.

Так как все числа двузначные, то Следовательно, а значит и левая дробь всегда строго больше правой.

Аналогично доказывается второе неравенство.

Следовательно, ответ: нет.

в) Так как все числа натуральные, то из можно сделать вывод, что Аналогично С учетом этого оценим дробь:

Таким образом, наименьшее значение выражение будет принимать при наименьшем значении выражения Так как при фиксированном числителе дробь тем меньше, чем больше ее знаменатель, то максимизируем знаменатель, то есть максимизируем

Так как — двузначное, то максимальное значение для — это 99, следовательно, и Таким образом, получаем:

Теперь для того, чтобы полученное справа выражение было как можно меньше, нужно сделать как можно больше дробь то есть сделать как можно меньше

Наименьшее значение для — это 10. Следовательно:

Таким образом, если наименьшее значение достигается, то