19.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Все глыбы по т можно увезти в 12 грузовиках (5 глыб в одном грузовике).

Все глыбы по т можно увезти в 27 грузовиках (26 грузовиков по 3 глыбы и 1 с двумя глыбами).

Все глыбы по т можно увезти в 8 грузовиках (7 грузовиков по 7 глыб и 1 с одной глыбой).

Всего при таком разложении глыб нужно грузовиков, а у нас — 65.

Ответ: да.

б) Заметим, что масса всех глыб равна: т и грузоподъемность 43-х грузовиков равна также т. Следовательно, если и возможно вывезти все глыбы на 43 грузовиках, то каждый грузовик должен быть забит полностью.
Пусть в грузовике глыба массой т. Тогда, чтобы он был забит полностью, в нем должно быть еще ровно 4 такие глыбы, то есть всего 5 таких глыб, и одна глыба массой т. Следовательно, чтобы вывести глыбы по т, нужно 10 грузовиков, и тогда будет вывезено также еще 10 глыб по т.
Остается 70 глыб по т и 60 глыб по т и 33 грузовика.
Если в грузовике будет глыба по т, то таких глыб должно быть всего 2, а также 2 глыбы по т (чтобы грузовик был забит полностью). Следовательно, чтобы вывезти все глыбы по т, нужно 30 грузовиков. Тогда останется 10 глыб по т и 3 грузовика. Видим, что мы не можем поместить 10 таких глыб в 3 грузовика.
Ответ: нет.

в) В предыдущем пункте мы показали, что увезти все глыбы на 43 грузовиках не получится. На меньшем количестве грузовиков также не получится, так как их суммарная грузоподъемность будет меньше суммарной массы всех глыб.
Следовательно, грузовиков нужно точно . Докажем, что на 44 грузовиках можно вывезти все глыбы.
Возьмем разложение глыб по грузовикам из пункта б). На последнем шаге у нас осталось 10 глыб по т и использовано уже 40 грузовиков. Но 10 глыб по т можно спокойно увезти на 4-х грузовиках. Таким образом, получаем, что всего использовано 44 грузовика. Чтд.