19.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Тогда из числа 3259 получается число 362105459.

б) Второй цифрой обязана быть 6. Тогда ни 4, ни 2, ни 7 не могут быть третьей цифрой.

в) Если изначальным числом будет то получим число вида

Запишем это число в «почти каноническом» виде. Начнем с конца числа. Последняя цифра войдет в него с коэффициентом 1. Далее двузначное или однозначное число войдет в почти каноническое разложение с коэффициентом 10. Далее цифра войдет в него с коэффициентом где равно либо 2, либо 3 в зависимости от количества цифр числа Тогда число войдет в почти каноническое разложение с коэффициентом И, наконец, цифра войдет в него с коэффициентом где равно либо либо в зависимости от количества цифр числа

Тогда

Мы знаем, что 10 сравнимо с 1 по модулю 9, поэтому при любом натуральном значении число сравнимо по модулю 9 с то есть просто с 1. Таким образом, число сравнимо по модулю 9 с суммой

Значит, чтобы полученное число делилось на 9, нам нужно обеспечить делимость этой суммы на 9.

Заметим, что

Тогда делится на 9, а значит на 9 не делится.

и — цифры от 0 до 8. Если равна 8, то такое произведение делится на 9, противоречие. Значит, может принимать значения от 0 до 7.

Изначальное число 878 подходит, так как полученное из него число 8567568 делится на 9.

Если же в изначальном числе цифры и другие, то есть меньше, чем в числе 878, то и полученное из него число будет меньше чем 8567568.