18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

Преобразуем числитель дроби в левой части уравнения:

Перепишем уравнение в виде системы

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно две из точек вида где принадлежат множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно две точки пересечения с множеством

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений внутренней совокупности, объединим их, а затем исключим точки, удовлетворяющие условию

• Множеством решений первого уравнения внутренней совокупности являются точки прямой
• Множеством решений второго уравнения внутренней совокупности являются точки параболы
• Третье условие задает всю плоскость, за исключением точек графика функции Графиком является растянутая вдвое вдоль оси ординат «галочка» модуля с ветвями, направленными вверх, с вершиной в точке

Найдем точки пересечения этих графиков.

• Если график пересекается с графиком в точке то

  

  То есть графики функций и пересекаются в точках и

• Если график пересекается с графиком в точке то

  

  То есть графики функций и пересекаются в точках и

• Если график пересекается с графиком в точке то

  

  Решим внутреннюю систему.

  

  То есть графики функций и пересекаются в точках и

Построим графики.

Множество решений системы является объединением всех точек синей прямой и зеленой параболы, за исключением точек и выделенных красным и принадлежащих красной галочке.

Только горизонтальные прямые (касательная в вершине зеленой параболы), (прямая через ), (прямая через ) и (прямая через ) будут иметь с две точки пересечения.

Горизонтальная прямая, проходящая через точку пересечения графиков всех функций будет иметь с одну точку пересечения.

Легко видеть, что все остальные горизонтальные прямые будут иметь с либо одну точку пересечения, либо три точки пересечения и заведомо нам не подойдут.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при