18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

Чтобы разложить числитель на множители, найдем его корни и то есть решим квадратное относительно уравнение:

Тогда числитель раскладывается на множители следующим образом:

Получаем, что исходное уравнение эквивалентно системе

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно одна из точек вида где принадлежит множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно одну точку пересечения с множеством

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений совокупности, объединим их, а затем исключим точки, удовлетворяющие условию

• Множеством решений первого уравнения совокупности является прямая
• Множеством решений второго уравнения совокупности являются прямая
• Третье условие задает всю плоскость за исключением двух вертикальных прямых и

Построим графики.

Множеством решений системы является объединение всех точек наклонных прямых за исключением точек пересечения с вертикальными прямыми.

Прямые и пересекутся в одной точке в чем легко убедиться подстановкой.

Найдем точки пересечения и прямой с прямыми и соответственно:

Заметим, что все горизонтальные прямые, кроме тех, которые проходят через одну из точек или будут иметь с ровно две точки пересечения, а значит, нам не подойдут.

Прямые то есть прямая через точку и то есть прямая через точку будут иметь с ровно одну точку пересечения.

Прямая то есть прямая через точку не будет иметь с точек пересечения.

Таким образом, подходят только прямые и и соответствующие им значения параметра