18.27 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству , то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение , то будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра , при каждом из которых ровно две из точек вида принадлежат множеству решений , изображенному на плоскости . Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно две точки пересечения с множеством .

Из совокупности мы видим, что «выше» прямой решением будут точки графика параболы , а на оставшейся части плоскости (т.е. «ниже» и включая прямую ) решением будут точки графика параболы .

Найдем точки пересечения парабол.

То есть параболы пересекаются в точках и . Заметим, что обе эти точки лежат на прямой «разделения» . Вершина параболы совпадает с точкой (легко проверить подставлением), а вершина параболы это точка

Построим графики. Красным изображена парабола , пунктирная ее часть не удовлетворяет условию . Синим изображена парабола , пунктирная ее часть не удовлетворяет условию . Зеленым изображена линия «разделения» .

Множеством решений системы является объединение всех точек сплошных частей синего и красного графиков.

По графику видим, что все горизонтальные прямые, которые «выше», чем (прямая через ) будут иметь ровно две точки пересечения с . Здесь важно отметить, что горизонтальная прямая, проходящая через будет касательной к параболе в ее вершине, следовательно, будет иметь с ней ровно одну точку пересечения. Прямые и (прямая через ) будут иметь с ровно три точки пересечения. Любая прямая между и будет иметь четыре точки пересечения с . Любая прямая «ниже» снова будет иметь ровно две точки пересечения с . Таким образом, в ответ войдут интервалы