18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

В данное уравнение параметр входит в первой степени, следовательно, уравнение легко можно переписать в виде (то есть выразить через ). Сделаем это.

Заметим, что не является решением уравнения, следовательно, разделим обе части равенства на и получим

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно одна точка вида , принадлежит множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно одну точку пересечения с множеством .

Рассмотрим функцию в системе координат и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

Следовательно, производная равна нулю в точках и не существует в точке . Определим знаки производной на промежутках, на которые эти точки разбивают область определения производной:

При функция убывает, при функция возрастает.

При имеем , при имеем , при имеем .

Значит, схематично график ее выглядит следующим образом:

Следовательно, ровно одну точку пересечения с графиком имеет горизонтальная прямая , если , то есть при .