18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

Рассмотрим функции и . Тогда неравенство примет вид

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых не существует точек вида , , принадлежащих множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая не имеет точек пересечения с множеством .

Построим графики функций и . Для этого требуется исследовать данные функции.

• Функция является композицией двух функций: и , то есть . Функция возрастающая, следовательно, характер монотонности функци определится, если исследовать функцию :

  

  Производная равна нулю при и не существует при , следовательно, эти точки разбивают ее область определения на промежутки, знаки на которых следующие:

  

  Учитывая, что , на промежутке функция возрастает, а при убывает.

  Так как

  

  то при функция убывает, а при эта функция возрастает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).

  • При имеем .
  • При имеем .
  • При имеем .

  Тогда график функции выглядит следующим образом:

  

• Функция является композицией двух функций: и , то есть . Функция возрастающая, следовательно, характер монотонности функци определится, если исследовать функцию , у которой промежутки возрастания/убывания такие же, как у функции .

  Следовательно, учитывая, что при и , функция возрастает, а при , функция убывает.

  Так как

  

  то при и , функция возрастает, а при , функция убывает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).

  • При имеем .
  • При имеем .
  • При имеем .

  Тогда график функции выглядит следующим образом:

  

Изобразим оба графика на одной координатной плоскости. Для этого найдем значения функций в некоторых точках:

Тогда решением неравенства будет множество , которое является объединением области 1 и области 2, где

область 1: пересечение областей над графиками функций и , включая график и исключая график ;

область 2: пересечение областей под графиками функций и , включая график и исключая график .

Исходное неравенство не имеет решений, если горизонтальная прямая не пересекает закрашенную область , то есть находится в полосе между (включая это значение) и (исключая это значение). Значит, ответ: