14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана прямая четырехугольная призма, в нижнем основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями
и 
. Основание конуса вписано в нижнее основание призмы, а вершина 
конуса располагается на
верхнем основании призмы. Боковое ребро призмы равно 10.
а) Докажите, что треугольник 
равнобедренный.
б) Найдите объем конуса.
а) Пусть 
— центр основания конуса, тогда отрезок 
перпендикулярен основанию конуса, а значит,
и основаниям призмы. Кроме того, 
— центр вписанной окружности равнобокой трапеции 
.
Тогда 
и 
— биссектрисы равных углов 
и 
равнобокой трапеции, следовательно,
. Получили, что треугольник 
равнобедренный, в котором 
.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Они оба прямоугольные и равны по паре катетов (
— общий,
), следовательно, их гипотенузы 
и 
тоже равны.
б) Нам уже известна высота конуса (она равна высоте призмы), чтобы вычислить объем конуса, осталось найти радиус окружности основания.
Будем рассматривать ситуацию в плоскости основания 
призмы. 
— описанный четырехугольник,
следовательно, 
, причем мы знаем, что 
, так как трапеция равнобокая.
Тогда
Опустим высоты 
и 
на основание 
трапеции. Тогда 
— прямоугольник и
.
как прямоугольные по катетам (
) и гипотенузам (
), следовательно,
их оставшиеся катеты тоже равны 
. Можем найти длину отрезка
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
высота трапеции равна
Высота трапеции равна удвоенному радиусу ее вписанной окружности, т.е. 
. Можем найти объем
конуса
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
