14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

Пусть , и — точки пересечения плоскости с прямыми , и соответственно, а — середина высоты (ниже мы докажем, что это также и центр верхнего основания цилиндра, и обозначения согласуются с условием задачи). По условию и , следовательно, .

Рассмотрим плоскость . Параллельные плоскости и пересекают ее по прямым и , следовательно, эти прямые параллельны . При этом — середина , следовательно, — средняя линия в треугольнике , и — середина . Абсолютно аналогично доказывается, что и являются серединами и соответственно. Тогда треугольник подобен треугольнику с коэффициентом (т.к. как средние линии), а — его центр. Таким образом, действительно является центром верхнего основания цилиндра.

а) Пирамида правильная, следовательно, является центром масс треугольника . — медиана и . Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой , чтобы найти отношение

б) Обозначим через радиус цилиндра, через сторону треугольника , через высоту цилиндра, тогда высота пирамиды равна . Запишем площадь равностороннего треугольника двумя способами, чтобы выразить через

Тогда сторона равностороннего треугольника вдвое больше и равна , а его площадь

Наконец, можем найти искомое отношение объемов пирамиды и цилиндра