14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

а) Докажем, что центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

Рассмотрим пирамиду с вершиной . Пусть — высота пирамиды, то есть — точка пересечения медиан (биссектрис, высот) треугольника . Так как правильный, то . Возьмем произвольную точку на прямой . Тогда мы получаем три равных прямоугольных треугольника (по двум катетам), следовательно, . Таким образом, мы доказали, что любая точка прямой равноудалена от вершин основания пирамиды.

Рассмотрим плоскость . Отметим на точку таким образом, чтобы . Тогда мы получим равнобедренный , следовательно, .

Таким образом, расстояние от точки до всех вершин пирамиды равны, следовательно, — центр описанной сферы.

Заметим, что если , что равносильно (, так как — проекция на плоскость ), то точка будет лежать на высоте , в противном случае она будет лежать на продолжении отрезка за точку .

Чтд.

б) Пусть — высота (медиана) , тогда — высота (биссектриса) грани . Тогда . Найдем боковое ребро пирамиды:

Так как высота правильного треугольника со стороной равна , а — это от этой высоты, то .

Тогда из прямоугольного треугольника :

Обозначим , — радиус сферы. Проведем . Так как равнобедренный, то — медиана, следовательно, . Тогда

Подставляя вместо выражение , получаем ответ.

 

Заметим, что мы вывели формулу радиуса сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, и он равен

где — длина бокового ребра, — длина высоты пирамиды.