14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

а) Докажем, что центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

Рассмотрим пирамиду с вершиной . Пусть — высота пирамиды, то есть — точка пересечения медиан (биссектрис, высот) треугольника . Так как правильный, то . Возьмем произвольную точку на прямой . Тогда мы получаем три равных прямоугольных треугольника (по двум катетам), следовательно, . Таким образом, мы доказали, что любая точка прямой равноудалена от вершин основания пирамиды.

Рассмотрим плоскость . Отметим на точку таким образом, чтобы . Тогда мы получим равнобедренный , следовательно, .

Таким образом, расстояние от точки до всех вершин пирамиды равны, следовательно, — центр описанной сферы.

Докажем, что лежит на продолжении отрезка за точку . Это равносильно тому, что доказать, что

Введем , .

Используя данные об объеме и высоте пирамиды, найдем сторону основания (учтем, что площадь правильного треугольника , где , равна ):

Тогда составляет от высоты , которая равна , то есть . Таким образом, в треугольнике имеем , следовательно, (против большей стороны лежит больший угол). Значит , следовательно, точка находится внутри угла , что значит, что .

Чтд.

б) Из предыдущего пункта мы нашли, что . Высота . По теореме Пифагора

Также найдем .

Тогда по теореме косинусов для ():