14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

а) Пусть — пирамида с вершиной

— вписанный — вписанная

Если вписанный, то существует точка , лежащая в плоскости этого четырехугольника, расстояния от которой до вершин одинаковы: — радиус описанной около четырехугольника окружности. Восстановим перпендикуляр из точки к плоскости четырехугольника. Докажем, что каждая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершин .

Отметим . Рассмотрим (как прямоугольные по общему катету и катетам ). Следовательно, гипотенузы равны: .

Теперь осталось показать, что можно на выбрать точку таким образом, чтобы .

Проведем через середину отрезка плоскость : . Эта плоскость состоит из всевозможных прямых, перпендикулярных и проходящих через середину этого отрезка. Следовательно, состоит из серединных перпендикуляров к отрезку . Следовательно, любая точка плоскости равноудалена от точек и . За точку возьмем точку пересечения и . Тогда имеем , так как , и , так как . Отсюда — радиус описанной около пирамиды сферы.

Докажем, что есть такая точка , то есть что — невозможно.

Предположим, что . Тогда, так как , имеем . Так как , то из вытекает, что . Но это неправда, ведь .

— вписанная — вписанный

Пусть — центр сферы, описанной около пирамиды. Из точки опустим перпендикуляр к плоскости . Пусть . Имеем как прямоугольные с общим катетом и равными гипотенузами . Следовательно, , то есть — центр описанной около окружности.

Чтд.

б) — квадрат, — высота пирамиды, — точка пересечения диагоналей (она же точка , речь о которой была в пункте а)). Радиус описанной около пирамиды сферы равен . Также , .

Так как пирамида правильная, то центр сферы лежит на .

Рассмотрим : , , . Также . Тогда , следовательно, .

Из прямоугольного :

Также , следовательно,