14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

а) Пусть — плоскость, проходящая через точки , , . Докажем, что .

Сечение сферы плоскостью — большая окружность сферы. Имеем: , в частности, , . Так как , то , где — большая плоскость сферы, проходящая через точку . Отсюда следует, что либо , либо , что невозможно, так как эти плоскости имеют общую точку . Следовательно, точка лежит в одной плоскости с точками , , , то есть — плоская фигура.

б) Рассмотрим окружность с центром в точке и точками , , на ней. Пусть — диаметр, параллельный . Пусть лежит на правой полуокружности. Существует два варианта: — это хорда правой или левой полукружности (обозначим их и соответственно).

1) Пусть или (рис. 1).

Тогда опирается на дугу не меньше полуокружности, следовательно, не меньше , то есть . В этом случае высота треугольника не больше , так как (). Следовательно,

Этот случай нам не подходит, так как по условию .

2) Пусть (рис. 2). Тогда и .

Значит, равен или . Тогда равен или соответственно. Введем обозначение .

Проведем . Тогда , следовательно, , .

Так как .

Тогда

Если может принимать значение, большее 1, то все в порядке. Тогда . Следовательно, , так как .