Тема 14. Задачи по стереометрии

14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39779

Дана пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$ .

а) Докажите, что если основание $H$ высоты $SH$ пирамиды $SABCD$ лежит внутри $ABCD$ и все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (то есть двугранные углы при основании пирамиды равны), то в эту пирамиду можно вписать сферу.

б) Основанием пирамиды $SABCD$ служит квадрат $ABCD$ со стороной 15, а радиус вписанной в пирамиду сферы равен 3. Найдите высоту пирамиды, если она совпадает с ребром $SA$ .

Показать ответ и решение

а) Будем сокращенно двугранный угол с ребром $a$ называть ”ДУ при $a$ “.

1) основание $H$ высоты $SH$ лежит внутри $ABCD$ ; 2) двугранные углы при основании равны $⇒$ в $SABCD$ вписана сфера

$PIC$

Пусть все ДУ при сторонах основания $ABCD$ равны $2α$ , $SH = h$ . Проведем $HK ⊥ AB$ , тогда по ТТП наклонная $SK ⊥ AB$ . Значит, $∠SKH$ — линейный угол ДУ при $AB$ , то есть $∠SKH = 2α$ . Если $KO$ — биссектриса $△SKH$ , то $O$ —- точка пересечения биссекторной плоскости ДУ при $AB$ (действительно, $AB ⊥ (SKH )$ $⇒$ $AB ⊥KO$ $⇒$ $∠OKH = ∠OKS = α$ — линейные углы ДУ, образованных плоскостью $(ABO )$ и $(ASB )$ или $(ABC )$ ). Тогда $OH = OP = p$ , где $OP ⊥ (SAB )$ .

Заметим, что $KH = SH ⋅ctg 2α = h⋅ctg2α$ . Рассмотрим $△OKH$ :

p = OH = KH ⋅tgα = hctg2αtgα

Так как длина отрезка $p$ не зависит от выбора ДУ при ребре основания, то $O$ — точка пересечения с $SH$ всех биссекторных плоскостей ДУ при сторонах основания пирамиды. Таким образом, расстояния от $O$ до всех граней пирамиды равны $p$ , следовательно, $O$ — центр вписанной сферы, $p$ — радиус.

Чтд.

б) Пусть $r = 3$ — радиус вписанной сферы, $AB = 15 = a$ , $SA = h$ . Так как $SA ⊥ (ABC )$ , $AB ⊥ BC$ , $AD ⊥ CD$ , то по ТТП наклонные $SB ⊥ BC$ , $SD ⊥ CD$ . Заметим, что $△SAB = △SAD$ как прямоугольные по двум катетам, следовательно, $√------ SB = SD = b= a2 +h2$ . Известна формула

( ) ----3Vпирамиды----- 1 2 1 2 rвпис. сферы = Sполн. пов-типирамиды ⇒ r ⋅ 2⋅2ha +a +2 ⋅2ba = h ⋅a

$PIC$

Преобразуем получившееся уравнение и найдем $h$ :

∘------ 3a(h + a+ a2 +h2)= ha2 |:a > 0 ⇔ ∘ 2---2- 3 a +h = h(a − 3)− 3a ⇔ 9a2+ 9h2 = h2(a− 3)2+ 9a2− 6ah(a− 3) ⇔ h2((a− 3)2− 9)− 6ah(a− 3)= 0 |:h > 0 ⇔ h= -6a(a−-3)- (a− 3)2− 9

Подставим $a = 15$ и получим

6⋅15⋅12 SA = h = 9(42 − 1) =8.

Ответ:

б) $8$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ