14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

а) Пусть — центр окружности, описанной около . Восстановим перпендиуляр из точки к плоскости .

Докажем, что любая точка равноудалена от вершин . Действительно, рассмотрим , , : они равны, так как они прямоугольные, — общий катет, . Следовательно, .

Докажем, что на можно выбрать такую точку , что . Проведем через середину — точку — плоскость перпендикулярно . Тогда для любой точки этой плоскости выполнено: . Пусть — точка пересечения этой плоскости с . Тогда и , следовательно, равноудалена от всех вершин тетраэдра , значит, это центр описанной около тетраэдра сферы.

Нужно доказать, что случай, когда не имеет общих точек с этой плоскостью, невозможен. Предположим, что , — эта плоскость. Так как , то . Так как , то . Получили противоречие, так как .

Чтд.

б) Так как , то ( — высота тетраэдра). Пусть — центр описанной около окружности. Так ак равнобедренный, то , где — высота, медиана, биссектриса. Восстановим из точки перпендикуляр . Тогда для любой имеем .

Построим плоскость, проходящую через середину отрезка перпендикулярно (то есть параллельно ). Назовем эту плоскость . Пусть . Следовательно, опираясь на предыдущий пункт, можем сказать, что равноудалена от всех вершин тетраэдра, то есть это центр описанной сферы.

Так как , , . Так как , . Следовательно, —- параллелограмм, а учитывая, что , это прямоугольник. Тогда , .

Тогда радиус описанной сферы равен

Найдем по формуле :

Тогда