14.04 Задачи формата ЕГЭ на тела вращения. Шар, цилиндр, конус

а) Рассмотрим пирамиду с вершиной . Она вписана в сферу, о которой идет речь в условии. Основание пирамиды — прямоугольный равнобедренный .

Обозначим и — центры квадратов и соответственно.

1) Точка — центр окружности, описанной около .

2) .

Из 1) и 2) следует, что любая точка прямой равноудалена от вершин . Найдем на такую точку , что . Тогда — центр описанной около сферы.

Построим плоскость , проходящую через середину отрезка перпендикулярно ему. Любая точка этой плоскости равноудалена от концов отрезка . Тогда точка пересечения этой плоскости с и будет искомой точкой .

Заметим, что по ТТП как наклонная. Пусть — серединный перпендикуляр к стороне в (, ). Тогда если , то (). По теореме Пифагора

Следовательно, — плоскость, построенная на прямых , и . Пусть . Проведем . (прямоугольные, , ). Следовательно, . Тогда .

Получаем сечение куба плоскостью . .

— трапеция, а — ее средняя линия, следовательно,

Рассмотрим . По теореме Пифагора

Чтд.

б) Пусть , , . Рассмотрим квадрат . перпендикулярна плоскости этого квадрата. Заметим, что лежит в этой плоскости и, как следствие, . Проведем . Так как , то . Следовательно, — часть диаметра , перпендикулярного .

Пусть .

Тогда, учитывая, что , — радиус сферы, находим