.04 Досроки

Сначала мы отправлялись в лес только с Матвеичем (,) знакомившим городских с охотничьим делом (,) усваивая все необходимые приёмы охоты (3) и (4) узнавая нелёгкую науку ходить целыми днями по горам и лесам и не заблудиться.

РЕШЕНИЕ:

Запятые в цифрах 1 и 2 ставятся, поскольку выделяют ПРИЧАСТНЫЙ ОБОРОТ, стоящий после определяемого слова: с Матвеичем (каким?), знакомившим городских с охотничьим делом.

Запятая в цифре 2 также ставится и потому, что выделяет ОДНОРОДНЫЕ ДЕЕПРИЧАСТНЫЕ ОБОРОТЫ (зависят от одного главного слова): отправились (что делая?), усваивая все необходимые приёмы охоты и (что делая?) узнавая нелёгкую науку ходить целыми днями по горам и лесам и не заблудиться.

Запятые в цифрах 3 и 4 не ставятся, поскольку деепричастные обороты являются однородными и соединены сочинительным союзом «И» (если бы союза не было, то мы бы разделили эти обороты запятой).