Тема №15. Треугольники

02 Расчет углов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №15. треугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43932

В треугольнике два угла равны $38∘$ и $89∘.$ Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как сумма углов треугольника равна $180∘,$ то третий угол равен

∘ ∘ ∘ ∘ 180 − 38 − 89 = 53

Ответ: 53

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88755

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ $∠ABC =106∘.$ Найдите угол $BCA.$ Ответ дайте в градусах.

$BAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $AB =BC,$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC,$ а значит $∠BCA = ∠BAC,$ причем по сумме углов треугольника

∠ABC +∠CAB + ∠ABC = 180∘.

Тогда

180∘ = ∠ABC + 2∠BCA

Значит,

180∘− ∠ABC- 180∘-− 106∘ ∘ ∠BCA = 2 = 2 = 37 .

Ответ: 37

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#43607

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $106∘.$ Найдите внешний угол при вершине $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как сумма смежных углов равна $180∘,$ то внешний угол при вершине $C$ равен

180∘− 106∘ = 74∘

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42335

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH,$ $∠BAC = 39∘.$ Найдите угол $ABH.$ Ответ дайте в градусах.

$ACBH$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH.$ Сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ тогда

∠ABH = 180∘ − ∠AHB − ∠BAH = = 180∘− 90∘− 39∘ =51∘

Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#50250

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠BAC = 48∘,$ $AD$ — биссектриса. Найдите $∠BAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как $AD$ — биссектриса, то

1 1 ∘ ∘ ∠BAD = ∠DAC = 2∠BAC = 2 ⋅48 = 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104803

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 73∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

180∘ = 73∘+ ∠A +∠C = 73∘+ 2⋅∠A,

откуда

2⋅∠A = 107∘

Тогда

∠A = 53,5∘

Ответ: 53,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#104804

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 40∘,$ $∠B = 110∘,$ $AM$ — биссектриса, $N$ — такая точка на $AC,$ что $AB = AN.$ Найдите $∠CMN.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда имеем:

∠BAC = 180∘− ∠B − ∠C = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 110 − 40 = 30

Так как $AM$ — биссектриса, то

∠MAN = ∠BAM = 15∘

Треугольники $ABM$ и $ANM$ равны по двум сторонам и углу между ними, тогда $∠BMA =∠AMN.$ Из треугольника $ABM$ имеем:

∘ ∠BMA = 180 − ∠BAM − ∠B = = 180∘ − 15∘− 110∘ = 55∘

Тогда получаем

∠BMN =2 ⋅∠BMA = 110∘

Значит, искомый угол равен

∘ ∘ ∘ ∠CMN =180 − 110 = 70

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#104805

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $58∘,$ биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольнике $ABC$ имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠B = 180 − ∠C = 180 − 58 = 122

Тогда для треугольника $AOB$ получаем

∠AOB = 180∘− (∠OAB + ∠OBA ) = ∘ = 180 − 0,5(∠A + ∠B )= = 180∘− 0,5⋅122∘ = 119∘

Ответ: 119

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#104806

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A =60∘,$ $∠C = 80∘,$ $AD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $F.$ Найдите $∠EF D.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $AEC$ — прямоугольный, $∠A = 60∘,$ тогда имеем:

∘ ∘ ∘ ∠ACE = 90 − 60 = 30

Аналогично в треугольнике $ADC :$

∘ ∠DAC =10

Так как сумма углов треугольника равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠AF C = 180 − 10 − 30 = 140

Углы $AF C$ и $EF D$ равны как вертикальные, тогда искомый угол равен

∘ ∠EF D = 140

Ответ: 140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#104807

В треугольнике $ABC$ известно, что $CD$ — биссектриса, $∠B = 63∘,$ $∠ACD = 33∘.$ Найдите $∠ADC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CD$ — биссектриса, то $∠ACD = ∠DCB.$

Тогда имеем:

∘ ∘ ∠ACB = 2⋅33 = 66

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда для треугольника $ABC$ получаем

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠B − ∠ACB =180 − 63 − 66 = 51

Окончательно для треугольника $ACD$ имеем:

∠A + ∠ACD +∠ADC = 180∘ 51∘+ 33∘+ ∠ADC = 180∘ ∠ADC =96∘

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#104808

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A = 22∘,$ $∠C = 40∘,$ $BE$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B.$ При этом точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC.$ На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $D$ таким образом, что $BC = BD.$ Найдите $∠CED.$ Ответ дайте в градусах.