Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

05 Окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46943

Известно, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырехугольника пересекаются в точке $K.$ Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то

∘ ∠ABC + ∠ADC = 180.

Тогда

∘ ∠ADC =180 − ∠ABC.

$ABCDK$

$∠ABC$ и $∠ABK$ смежные, поэтому

∠ABC + ∠ABK = 180∘,

следовательно,

∠ABK = 180∘− ∠ABC = ∠ADC.

Рассмотрим треугольники $KAB$ и $KCD.$ Так как $∠AKB$ — общий и $∠ABK = ∠CDK,$ то треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны по двум углам.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#58566

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию четырёхугольник $ABCD$ — выпуклый. Тогда точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от $AB.$ Известно, что $∠BCA = ∠BDA,$ при этом они опираются на сторону $AB,$ следовательно, около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

$ABDC$

Тогда $∠ABD = ∠ACD$ как вписанные, опирающиеся на дугу $AD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94617

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB1$ и $CC1.$ Докажите, что углы $BB1C1$ и $BCC1$ равны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BB1$ и $CC1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠BB C = 90∘ = ∠BC C. 1 1

Эти углы опираются на отрезок $BC,$ следовательно, около четырёхугольника $BCB1C1$ можно описать окружность.

$ABCBC11$

Тогда $∠BB1C1 = ∠BCC1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $BC1.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#58568

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA1$ и $BB1.$ Докажите, что треугольники $A1CB1$ и $ACB$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $AA1$ и $BB1$ — высоты тупоугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠BA A = 90∘ = ∠BB A. 1 1

Рассмотрим четырёхугольник $ABB1A1.$ В нём углы $BA1A$ и $BB1A$ равны и опираются на один и тот же отрезок $AB,$ следовательно, около четырёхугольника $ABB1A1$ можно описать окружность.

$ABCAB11$

Тогда $∠BAB1 = ∠BA1B1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $BB . 1$

Углы $A1CB1$ и $ACB$ равны как вертикальные. Тогда треугольники $A1CB1$ и $ACB$ подобны по двум углам.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#54961

Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D,$ причем точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD.$ Докажите, что прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём отрезки $EC,$ $ED,$ $FC$ и $FD.$

$EFCDH$

Заметим, что $EC =ED$ как радиусы окружности с центром в точке $E,$ а $F C = F D$ как радиусы окружности с центром в точке $F.$

Рассмотрим треугольники $CEF$ и $DEF.$ В них $EF$ — общая сторона, $EC =ED$ и $FC = FD.$ Тогда треугольники $CEF$ и $DEF$ равны по трём сторонам. Следовательно, $∠CEF = ∠DEF$ как соответственные элементы равных треугольников. Таким образом, $EF$ — биссектриса угла $CED.$

Пусть $EF$ пересекает $CD$ в точке $H.$ Рассмотрим равнобедренный треугольник $CED.$ В нём биссектриса $EH,$ проведённая к основанию, является и высотой. Значит, $EF ⊥ CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#61820

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a:b.$ Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a:b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $P$ — центр первой окружности, $Q$ — центр второй, $A$ и $B$ — точки касания общей внутренней касательной с первой и второй окружностями соответственно.

Пусть $K$ — точка пересечения $PQ$ и $AB.$ Тогда по условию $PK :KQ =a :b.$

Проведем радиусы $PA$ и $QB.$ Радиус, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной, поэтому, так как $AB$ — общая касательная к окружностям, то

∠PAK = 90∘ = ∠QBK.

$abQPBAKxx$

Заметим, что $∠P KA = ∠QKB$ как вертикальные. Тогда треугольники $PKA$ и $QKB$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

PA-= P-K-= a. QB QK b

Диаметр любой окружности равен ее удвоенному радиусу, то есть

$pict$

Тогда

d1 = 2PA-= P-A = a. d2 2QB QB b

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2