.04 Окружности и многоугольники

Рассмотрим треугольник По условию Тогда по теореме о сумме углов треугольника:

Значит,

Пусть — центр окружности, проходящей через точки и и касающейся прямой

Пусть окружность касается прямой в точке

Проведём Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то

Проведем Тогда

Рассмотрим четырехугольник В нём

следовательно, — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники и В них — общий, как соответственные углы при и секущей Тогда треугольники и подобны по двум углам.

Пусть Тогда

Запишем отношения подобия для треугольников и

Проведем и Заметим, что как радиусы окружности.

В треугольнике стороны и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный.

следовательно, — высота в треугольнике Так как треугольник — равнобедренный, то — медиана. Значит

Тогда

как противоположные стороны в прямоугольнике

Пусть — радиус окружности, тогда, так как и — радиус окружности, получаем, что