.04 Окружности и многоугольники

Пусть окружность касается сторон и в точках и соответственно.

Пусть Тогда — расстояние от точки до прямой По условию

Проведём Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то Тогда — расстояние от точки до прямой Следовательно, по условию. Значит, радиус окружности равен 5.

Проведём Тогда как радиус окружности. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то Тогда следовательно, точки лежат на одной прямой и — высота параллелограмма. Тогда

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

значит,

Пусть Так как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то

Тогда

Посчитаем площадь треугольника двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит,

где — полупериметр треугольника — радиус его вписанной окружности, — его высота, проведённая к стороне

Найдём полупериметр треугольника

Высота в треугольнике — расстояние от точки до прямой Тогда как расстояние между параллельными прямыми и Значит, а поэтому

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому