17.09 Биссектриса и её свойства

Пусть . Продлим стороны и четырехугольника до пересечения в точке . Рассмотрим треугольник . В нем , значит, треугольник — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике на серединном перпендикуляре, проведенном к его основанию, лежат его медиана, высота и биссектриса, значит, точка лежит на биссектрисе угла , то есть равноудалена от прямых и . Так как лежит на биссектрисе угла , она равноудалена от прямых и , следовательно, точка равноудалена от прямых и , то есть лежит на биссектрисе угла .

Рассмотрим треугольник . По сумме углов треугольника

По сумме углов четырехугольника

Так как и — биссектрисы углов и соответственно, имеем:

Если , то задача отличается от предыдущей только картинкой, так как все рассуждения не опираются на расположение точки .

Если , то точка равноудалена от прямых и , так как лежит на прямой, которая параллельна прямым и и проходит через середину отрезка с концами на этих прямых. Аналогично предыдущему рассуждению точка должна лежать на биссектрисе угла , тогда угол можно найти тем же способом.