17.09 Биссектриса и её свойства

Рассмотрим два способа.

1.

Проведем биссектрисы углов и , пусть они пересекаются в точке . На прямой за точкой отметим произвольную точку и проведем через нее прямую, параллельную левой стороне угла. Пусть эта прямая пересекает правую сторону угла в точке , то есть . Построим биссектрису угла . Через точку проведем прямую . Тогда — искомый след.

Докажем это. Пусть — вершина угла. Тогда как накрест лежащие при и секущей. Следовательно, биссектрисы углов и также параллельны. А также так как — точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника при вершинах и , то — центр окружности, вневписанной в и касающейся стороны , следовательно, лежит на биссектрисе угла . Чтд.

2.

Произвольно проведем две прямые и , пересекающие стороны угла, как показано на рисунке. Получим четырехугольник . Пусть биссектрисы его внутренних углов и пересекаются в точке , а биссектрисы его внешних углов при вершинах и пересекаются в точке . Тогда — искомый след.

Докажем это. Пусть — вершина угла. Так как — точка пересечения двух биссектрис треугольника , то лежит на третьей биссектрисе, то есть на биссектрисе угла . Аналогично для треугольника точка лежит на биссектрисе угла . Следовательно, точки и лежат на биссектрисе угла . Чтд.