17.09 Биссектриса и её свойства

Способ 1

Проведем через точку прямую Тогда как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей Также как соответственные, образованные параллельными прямыми и и секущей

— биссектриса, значит,

Таким образом, — равнобедренный, то есть

По теореме о пропорциональных отрезках

Способ 2

Рассмотрим треугольник и его биссектрису . Не умаляя общности пусть в нем . Если же , то биссектриса , проведенная к основанию равнобедренного треугольника , делит его пополам. Тогда .

Итак, . Опустим из точек и перпендикуляры и на луч . Определим, где будут лежать точки и .

В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, значит, . Биссектриса делит угол пополам, то есть . Угол является внешним для треугольника , следовательно, . Аналогично . Тогда . С другой стороны, эти углы являются смежными, то есть их сумма равна , значит, и .

Вернемся к расположению точек и . В треугольнике углы и — острые, значит, основание перпендикуляра из точки на луч будет лежать на отрезке .

В треугольнике угол — тупой, значит, основание перпендикуляра из точки на луч будет лежать на продолжении за точку .

Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам, так как и . Тогда выполняется следующее:

Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам, так как и как вертикальные. Тогда выполняется следующее:

Значит, биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.