17.09 Биссектриса и её свойства

Способ 1

Заметим, что если в треугольнике то биссектриса внешнего угла не будет пересекать основание Тогда не умаляя общности Таким образом, биссектриса внешнего угла будет пересекать продолжение стороны за точку

Опустим на внешнюю биссектрису угла из точек и перпендикуляры и Рассмотрим треугольники и В них как половины внешнего угла и Значит, треугольники и подобны по двум углам, то есть

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам, так как и — общий. Тогда выполняется следующее:

Способ 2

Отложим на прямой за точку отрезок Пусть Тогда треугольник — равнобедренный. Так как — биссектриса то в треугольнике — биссектриса. По свойству равнобедренного треугольника — высота и медиана. Тогда в треугольнике — медиана и высота. Значит, треугольник — равнобедренный и По свойству равнобедренного треугольника — биссектриса

Тогда в треугольнике по свойству биссектрисы

Так как то получаем нужное равенство: