17.10 Медиана и удвоение медианы

Обозначим точку пересечения диагоналей через . и — точки, симметричные относительно точкам и соответственно. Тогда , по построению.

— параллелограмм (т.к. диагонали делят друг друга пополам), следовательно, .

— параллелограмм (т.к. диагонали делят друг друга пополам), следовательно, .

— параллелограмм (т.к. диагонали делят друг друга пополам), следовательно, .

Треугольники и равны как прямоугольные по двум катетам ( общий, по построению), следовательно их гипотенузы равны . Получили, что и треугольник — равносторонний.

Рассмотрим искомый угол . С одной стороны, из параллельности и он равен углу . С другой стороны, как внешний для треугольника он равен сумме углов . Треугольники и равнобедренные, следовательно, . Подытоживая написанные равенства, получаем

Треугольники и равны по трем сторонам (, ), следовательно, . Тогда, подставив в равенство выше, получим , причем , т.к. треугольник равносторонний. Таким образом, искомый угол .