17.10 Медиана и удвоение медианы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равностороннем треугольнике 
провели медианы 
и 
На медиане
отметили точку 
так, что 
а) Докажите, что описанная вокруг треугольника 
окружность делит
отрезок 
в отношении 
считая от вершины 
б) Известно, что эта же окружность пересекает 
в точке 
Ёe радиусы
и 
пересекают медианы 
и 
в точках 
и 
Найдите
отношение 
а)
1. Пусть медианы 
пересекаются в точке 
По свойству данной точки
2. Раз 
и 
то 
— это середина отрезка
3. По определению 
— это средняя линия 
которая параллельна
4. Проведём высоту 
в 
лежит на высоте треугольника 
следовательно, 
и 
5. Продлим 
до пересечения с 
в точке 
6. Поскольку 
и 
— середина боковой стороны 
то 
— это
средняя линия 
и 
7. В равностороннем треугольнике высоты и медианы совпадают, стало быть,
— середина 
откуда 
8. Теперь нам осталось доказать, что 
— это и есть та самая точка
пересечения окружности и отрезка 
(не считая точки 
).
9. 
откуда 
— вписанный и 
—
действительно точка пересечения окружности с отрезком 
Ч.Т.Д.
б)
1. Провед̈eм перпендикуляры 
и 
на 
и 
соответственно.
2. Поскольку 
равносторонний, то 
и 
ещё и биссектрисы.
Таким образом, 
3. По сумме углов 
4. Вписанный 
и центральный 
опираются на одну дугу, стало
быть 
5. Поскольку 
то 
—- вписанный и
6. 
как вертикальные.
то есть 
7. 
поскольку 
и 
— перпендикуляры.
8. Из прошлых двух пунктов выводим подобие 
по двум
углам. Раз так, то 
9. 
следовательно, 
— диаметр и 
10. 
и 
— середина 
стало быть 
— средняя линия
11. Из прошлого пункта следует, что 
с коэффициентом
подобия 
12. 
Эти три тезиса в сумме
говорят о равенстве 
13. Из прошлых двух пунктов следует, что 
с тем же
коэффициентом подобия 
14. 
и 
— высоты данных треугольников, следовательно, их длины
связаны тем же коэффициентом подобия 
15. Из пунктов 14) и 8) следует, что 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
