Оценки в тригонометрии

Первое решение.

ОДЗ: и .

При уравнение обращается в основное тригонометрическое тождество.

Зафиксируем произвольное . Тогда при , а при . С учётом этого факта левая часть при других значениях тангенса будет больше или меньше (в зависимости от или ), чем правая часть. Поэтому решений при быть не может. Заметим, что решения, соответствующие , подходят под ОДЗ.

Второе решение.

По основному тригонометрическому тождеству уравнение из условия равносильно:

Во-первых, отметим, что операция возведения в произвольную действительную степень определена только для положительного аргумента, откуда следует, что значения и не могут быть равны (соответственно и ).

Но тогда в уравнении

левая часть не больше нуля, а правая не меньше нуля, причём равенство может достигаться только в случае .

С учётом вышесказанного замечания, что , получаем . Легко убедиться, что при этом значении тангенса уравнение из условия обращается в тождество, откуда получаем ответ.