Оценки в тригонометрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары чисел 
, удовлетворяющие уравнению
Подсказка 1
У нас уже итак довольно простое выражение, поэтому раскрывать скобки не очень-то хочется. Вам не кажется, что сейчас грех не воспользоваться формулами суммы синусов и суммы косинусов?
Подсказка 2
После применения формул слева появляются множители sin((x+y)/2) и cos((x+y)/2), которые так и просят собрать их по формуле синусa двойного угла. После привидения и сокращения одинаковых множителей слева и справа какую интересную картинку можно увидеть?
Подсказка 3
Слева у нас остается sin(x+y)*cos²((x-y)/2), а справа 1. Сразу напрашивается метод оценки, т.к. множители слева по модулю не превосходят 1. Выпишите, когда произведение наших множители слева обращается в 1, и доведите решение до конца!
Первое решение.
По формулам суммы косинусов и синусов уравнение равносильно
По формуле синуса двойного угла это превращается в
Так как 
и 
то левая часть уравнения не превосходит 1. А равенство достигается лишь в
случае
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Раскроем скобки в левой части:
Применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца для векторов из 
чисел:
Получим:
Но левая часть неравенства равна 
по условию. Значит, в неравенстве КБШ левая и правая части равны для 
удовлетворяющих
условию задачи.
Как известно, равенство в КБШ достигается, когда векторы коллинеарны, то есть для некоторого 
Последовательно подставляя, уравнения системы получим:
Откуда либо 
, тогда 
что противоречит основному тригонометрическому тождеству
Либо 
, то есть 
.
В случае 
получится система:
Подставим 
во второе уравнение системы и 
в четвёртое
Нетрудно проверить, что в таком случае
что не подходит под условие задачи.
В случае 
получится система:
Которая имеет решения
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
