Рекурренты в комбинаторике и числа Фибоначчи f(n)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество перестановок ( 
) набора чисел 
таких, что 
Источники:
Подсказка 1
Для решения данной задачи необходимо доказать, что количество перестановок чисел a₁; a₂;...; aₙ равно F(n + 1), где F(n) — число Фибоначчи с номером n.
Подсказка 2
Будем доказывать это утверждение по индукции. Для n = 1 и n = 2 можно проверить утверждение перебором (получается, база индукции уже есть!). Для того, чтобы доказать данное утверждение для больших n будем рассматривать такой индекс k, что k-ый член последовательности равен n. Посмотрим тогда внимательно на отрезок [k + 1;n] и подумаем, какие числа могут на нём лежать.
Докажем следующее утверждение: количество перестановок 
чисел 
таких, что 
равно 
где 
— 
-е число Фибоначчи 
Отсюда будет следовать, что ответом является число
Обозначим через 
количество искомых перестановок длины 
Заметим, что 
Докажем, что 
при 
Для этого поймем, на какой позиции может стоять в нашей перестановке число 
Пусть 
— такой индекс, что 
При 
мы получаем 
количество таких перестановок равно 
При
имеем 
тогда 
Но 
поэтому 
количество перестановок равно
Предположим, что существует такая перестановка, что 
при 
Для каждого 
имеем
поэтому 
Кроме того,
Из этого следует
Получается, что все числа 
лежат на отрезке ![[k+1;n].](/api/latex-service/v1/GetSession/261155/index-3a047e51ecb97f8a4fb9ee5decc706d8.svg)
Но на этом отрезке лишь 
чисел, значит, мы получили
противоречие.
89
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
