Тема . Тригонометрия

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51601

Решите уравнение

sin3x+cos2x= cos4x− 3|sinx|.

Показать ответ и решение

Обозначим $sin x= t$ , тогда $sin3x =3t− 4t3$ , $cos2x− cos4x= 2sin3xsinx =2t(3t− 4t3).$ Исходное уравнение примет вид

4 3 2 8t + 4t− 6t − 3(t+|t|)=0

Сделаем замену $t= sinx∈ [− 1,1]$ , разберём два случая

Пусть $t≤ 0,$ тогда уравнение равносильно уравнению
$( ) t2 4t2+ 2t− 3 = 0$
Если $t= sinx = 0,$ то $x= πn,n ∈ℤ.$ Эти значения $x$ являются корнями исходного уравнения.
Решив уравнение $4t2+ 2t− 3= 0,$ найдем его корни $t1 = −-1−√13, 4$ $t2 = √13−1, 4$ где $t1 < −1,t2 > 0.$ В этом случае исходное уравнение не имеет корней.
Пусть $t> 0,$ тогда уравнение равносильно
$4t4+ 2t3 − 3t2− 3t= 0, 4t2(t− 1)+ 6t(t− 1)+ 3(t− 1)=0$
$( ) (t− 1) 4t2+ 6t+3 = 0$ Уравнение имеет единственный действительный корень $t=1$ , поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в скобках отрицателен. Если $t= sinx= 1> 0$ то $x= π2 + 2πn,$ $n∈ ℤ$ .

Ответ:

$πn,π +2πn, n ∈ℤ 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse