Тема . Тригонометрия

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90410

Решите уравнение

2 2 sin x+ 4cos x− 2sin2x+ sinx − 2cosx= 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас имеется какое-то выражение 2 степени с синусами и косинусами. При этом у нас ровно два члена 2 степени, поэтому разумно будет попытаться выделить с ними полный квадрат. Сделайте это и посмотрите на то, что останется...

Подсказка 2

После собирания полного квадрата у нас чудесным образом выделяется выражение sinx-2cosx. Тогда, заменив его на t, получаем квадратное уравнение на t. Скорее решайте его!

Подсказка 3

Получается, что возможны всего два варианта: sinx-2cosx=1 и sinx-2cosx=-2. Решить их уже не составляет никакого труда, ведь все мы знаем прекрасный метод вспомогательного угла! Или можно использовать прекрасные формулы универсальной тригонометрической подстановки...

Показать ответ и решение

Раскроем синус двойного угла

2 2 sin x+4 cos x− 4sinxcosx+sinx− 2cosx= 2,

и выделим полный квадрат

2 (sinx− 2cosx) + (sin x− 2cosx)− 2= 0.

Сделаем замену $t= (sin x− 2cosx)$ . Тогда наше уравнение имеет вид

t2+ t− 2 =0.

Получается, $t= 1$ или $t=− 2$ . Дальше можно решить задачу по-разному.

Первое решение.

Воспользуемся методом вспомогательного угла:

$1)sin x− 2cosx= 1.$ Решим это уравнение с помощью введения дополнительного угла. Для этого поделим обе части на $√12-+22 = √5 :$

√1-sinx− √2-cosx= √1-. 5 5 5

Поскольку верно равенство $(√1)2+ (√2)2 = 1, 5 5$ то существует такой угол $α,$ что $sinα= √2- 5$ и $cosα = 1√-. 5$ Будем считать, что $α =arccos√1. 5$ Получается

cosα sinx− sinαcosx= √1-. 5

По формуле синуса разности:

sin(x− α)= √1. 5

⌊ 1 | x− α= arcsin √5 + 2πk, ⌈ x− α= π− arcsin 1√-+ 2πk, k∈ ℤ. 5

⌊ 1-- -1- |⌈ x= arcsin √5 + arccos√5 +2πk, k∈ ℤ. x= π− arcsin 1√-+ arccos 1√-+2πk, 5 5

Воспользуемся тем, что $arcsinφ + arccosφ = π 2$

⌊ π x = 2 + 2πk, |⌈ 3π- -1- k ∈ℤ. x = 2 − 2arcsin√5-+ 2πk,

2) Аналогично решим уравнение $sinx− 2cosx =− 2.$

1 2 − 2 √5-sinx− √5-cosx= √5-.

sin(x− α)= −√2. 5

⌊ −2- |⌈ x− α= arcsin √5 + 2πk, k∈ ℤ. x− α= π− arcsin −√2+ 2πk, 5

⌊ ⌈ x= 2πk, x= π+ 2arcsin 2√-+ 2πk, k∈ ℤ. 5

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой ( $x= π+ 2πk$ ( $k$ - целое) не подходит): пусть $k= tg x 2$ , тогда $sinx= -2k2,cosx= 1−k22. 1+k 1+k$

$1)sin x− 2cosx= 1.$ Получается

-2k-- 1−-k2 1+ k2 − 2⋅1+ k2 = 1.

Решив квадратное уравнение, получим

[ x tg2x = −3, tg2 = 1.

[ x =− 2arctg3 +2πn, x = π + 2πn,n∈ ℤ. 2

2)Аналогично решим уравнение $sinx − 2cosx= −2.$

2 --2k2 − 2⋅ 1-− k2 = −2. 1 +k 1 +k

⌊ tg x2 = 0, ⌈ tg x= − 1 . 2 2

[ x= −2arctg 1+2πn, x= 2πn,n∈ 2ℤ.

Ответ:

$− 2arctg3+ 2πn;π+ 2πn;− 2arctg 1+ 2πn;2πn, n ∈ℤ 2 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ