Зачем делить в комбинаторике

Будем называть точки пересечения, которые нужно посчитать, зелёными. Рассмотрим два произвольных пересекающихся отрезка. Им можно сопоставить четверку концов этих отрезков, причем два конца будут лежать на одной прямой и два — на другой. Наоборот, каждой четверке концов отрезков, в которой две точки лежат на одной прямой, а две на другой, соответствует ровно одна зеленая точка — точка пересечения диагоналей четырехугольника с вершинами в тех четырех точках. Значит, зеленых точек столько же, сколько четверок концов отрезков, в которых две точки лежат на одной прямой и две на другой.

Посчитаем указанные четверки. Сначала выбираем две точки на прямой с точками. Отметим сразу, что порядок, в котором мы выбираем эти точки, нам не важен. Поэтому, после того, как мы способами выберем пару упорядоченных точек, нам нужно поделить это количество на так как каждая неупорядоченная пара точек учтена в числе дважды. Итого получаем способов выбрать неупорядоченную пару точек. Аналогичными рассуждениями получаем, что с другой прямой неупорядоченную пару точек можно выбрать способами.

Чтобы получить искомую четверку точек, нам нужно совместить пару точек с одной прямой и пару точек с другой прямой. Так как каждой паре точек с одной прямой может соответствовать любая пара точек с другой прямой, количества пар точек нужно перемножить: четверок, и столько же зелёных точек пересечения, которые нужно было посчитать.

Замечание. Подумайте, сработал ли бы наш способ, если бы было известно, что три отрезка пересеклись в одной точке?