Зачем делить в комбинаторике

Рассмотрим два произвольных пересекающихся отрезка. Им можно сопоставить четверку концов этих отрезков, причем два конца будут лежать на одной прямой и два на другой. Наоборот, каждой четверке концов отрезков, в которой две точки лежат на одной прямой, а две на другой, соответствует ровно одна зеленая точка — точка пересечения диагоналей четырехугольника с вершинами в тех четырех точках. Значит, зеленых точек столько же, сколько четверок концов отрезков, в которых две точки лежат на одной прямой и две на другой.

Посчитаем указанные четверки. Сначала выбираем две точки на прямой с точками. Отметим сразу, что порядок, в котором мы выбираем эти точки, нам не важен. Поэтому, после того, как мы способами выберем пару упорядоченных точек, нам нужно поделить это количество на , так как каждая неупорядоченная пара точек учтена в числе дважды. Итого получаем способов выбрать неупорядоченную пару точек. Аналогичными рассуждениями получаем, что с другой прямой неупорядоченную пару точек можно выбрать способами.

Чтобы получить искомую четверку точек, нам нужно совместить пару точек с одной прямой и пару точек с другой прямой. Так как каждой паре точек с одной прямой может соответствовать любая пара точек с другой прямой, количества пар точек нужно перемножить: четверок, и столько же зеленых точек отметил Невилл.