Зачем делить в комбинаторике

Сначала посчитаем количество способов отправить две команды без дополнительного условия, что в командах должно быть хотя бы по одному человеку. У каждого смешарика есть три варианта: либо пойти в первую команду, либо во вторую, либо остаться на базе. Будем последовательно для каждого выбирать судьбу. Так как выбор последовательный и независимый, получается способов.

Теперь нам надо исключить способы, в которых хотя бы в одной из команд не оказалось смешариков. Пусть смешариков не оказалось в первой команде. Это означает, что каждый смешарик шел либо во вторую команду, либо оставался на базе. Получается варианта для каждого смешарика. Выбор последовательный и независимый, поэтому таких способов, когда никто не пошел в первую команду, . Точно также способов, когда никто не пошел во вторую команду, тоже . Все эти способы надо вычесть из посчитанных ранее .

Иы дважды вычли способ, когда все смешарики остались на базе, а нужно было его вычесть всего один раз. Поэтому этот способ надо один раз прибавить к итоговому ответу. Значит, окончательный ответ: .

Каждой неупорядоченной паре команд соответствует две упорядоченные пары. Значит, мы получаем, что различных команд можно составить как максимум . Столько же дней можно проводить учебные дуэли так, чтобы пары противоборствующих команд не повторялись.