Правила сложения и умножения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В летнем лагере в комнате №13 живут 5 мальчиков: Алексей, Борис, Василий, Дмитрий и Юрий.
a) Сколько различных графиков дежурств можно составить на рабочую неделю (то есть на 5 дней), если каждый день дежурит один человек?
б) Сколько получится графиков, если мальчики не хотят дежурить два дня подряд?
в) Сколько различных графиков дежурств можно составить на неделю, если Дмитрия освободить от дежурства?
г) Сколько получится графиков, если Алексей должен продежурить хотя бы один раз?
д) Сколько графиков можно составить, если каждый должен продежурить по одному разу?
е) А если также к предыдущему пункту учесть, что Василий и Юрий не должны в списке стоять рядом?
Пункт а), подсказка
У нас есть 5 людей. Тогда сколько есть вариантов выбрать дежурить одного человека один день?
Пункт б), подсказка
Ага, в первый день дежурного мы можем выбрать пятью способами. Но тогда в последующие дни, сколько людей могут дежурить для соблюдения условия? начиная со второго дня, выйти на дежурство не может только один человек
Пункт в), подсказка
Если Дмитрия освободить от дежурства, то людей станет четверо. Тогда сколько есть вариантов выбрать дежурить одного человека один день?
Пункт г), подсказка
Считать в лоб такое, будем немного неудобно и к тому же мы можем забыть случаи. Попробуем найти количество способов как разность: все способы минус способы, когда Алексей не дежурит.
Пункт д), подсказка
Когда каждый дежурит по разу, выбрав его один раз дежурить, больше трогать мы его не можем. Тогда как мы будем выбирать каждый день дежурных?
Пункт е), подсказка 1
Посмотрим немного случаи. Пусть Василий дежурит в первый день. Тогда подумаем, в какие дни может дежурить Юра и дальше распределим остальных.
А если Василий будет дежурить в последний день?
Пункт е), подсказка 2
Верно, тогда ситуация будет аналогичная. Если же Василий будет дежурить в какой-то из трёх дней, кроме первого и последнего, то понятно, что Юрий в соседние дни не сможет. Сколько тогда вариантов остаётся для Юрия?
а) Каждый день есть 
вариантов, кто пойдет дежурить, поэтому вариантов на 
дней ровно 
.
б) В первый день есть 
вариантов для дежурного, во второй день уже только 
варианта, так как нельзя выбрать того же человека,
который дежурил в первый день, аналогично 
варианта есть для третьего, четвертого и пятого дня. Значит всего 
(Здесь
числа умножаются, так как нам нужно выбрать одновременно дежурного на первый день, на второй, третий, четвертый и
пятый).
в) Если мальчиков станет четверо, то на каждый из 
дней будет 
варианта для дежурного и всего получится 
вариантов.
г) Все графики с Алексеем можно получить если сначала взять все графики, а потом убрать из них те, в которых нет Алексея. Таким
образом в итоге будет 
для рабочей недели.
д) В первый день есть 5 вариантов для дежурного, во второй день уже только 4 варианта, так как нельзя выбрать того же человека,
который дежурил в первый день, для третьего дня только 
варианта, так как нельзя брать тех мальчиков, что дежурили в
первый и второй день, для четвертого дня аналогично есть 
варианта, а для пятого дня только 
вариант, значит всего
.
е) Если Василий дежурит в первый день, то Юрий может дежурит только в 
-
день. Для следующего человека останется 
дня и 
варианта, для четвертого 
дня, а для последнего останется последний день. Итого: 
.
Аналогично, 
вариантов, если Василий дежурит в пятый день.
Теперь предположим, что Василий дежурит в 
, 
или 
день. Тогда у Юры будет 
варианта, так как Юра не может дежурить в
тот же день, что и Василий или в день до или после. Третий мальчик может дежурить в любой из оставшихся 
дней, четвертый в любой
из 
оставшихся дней и тогда пятый мальчик будет дежурить в последний день. В этом случае получается 
вариантов.
Итого: 
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
