Метод шаров и перегородок

Построим школьников в линию, например, по росту и зафиксируем их порядок. Теперь рассмотрим линию из белых шариков также слева направо по порядку.

Ровно 3 шарика закрасим красным цветом. Останется шариков, которые можно поставить в соответствие школьникам в их зафиксированном порядке. Пусть школьники, соответствующие белым шарикам до первого красного в линии, пойдут в первую аудиторию. Школьники, соответствующие белым шарикам после первого красного до следующего красного в линии, пойдут во вторую аудиторию. Аналогично с третьей, и наконец, школьники, белые шарики которых находятся в линии правее последнего (третьего) красного, направятся в четвёртую аудиторию.

Если красные шарики стоят рядом, то в соответствующую аудиторию ни один школьник не сядет. Если красные шарики стоят в начале, то первую аудиторию никто не займёт, если в конце — последнюю никто не займёт.

В итоге получили вариант рассадки школьников по аудиториям. Каждой раскраске шариков из в красный цвет соответствует одна из рассадок. Других нет. Поэтому всевозможные способы рассадки определяются количеством способов выбрать шарика из на покраску. Это количество равно