Метод шаров и перегородок
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Старуха Шапокляк решила обзавестись коллекцией из 50 саквояжей. В магазине ей на выбор предложили оранжевые, зелёные, фиолетовые и голубые саквояжи. Сколькими способами она может сделать покупку? Саквояжи одного цвета считаются идентичными.
Источники:
Подсказка 1
В задаче фигурируют такие факты: цвета - четыре, в сумме объектов - пятьдесят. То есть задача сводится к уравнению вида a + b + c + d = 50, где a, b, c, d ≥ 0 и эти буковки обозначают количество саквояжей определенного цвета. При такой формулировке чаще всего вспоминают задачу о шарах и перегородках, которая является прообразом данной и хорошо иллюстрирует метод решения подобных задач. Как можно расположить "перегородки"? Сколько их надо и где их можно поставить?
Подсказка 2
Ну конечно, если цвета 4, то "перегородок" - 3. Объектов, которые мы будем набирать, 50 + 3 перегородки = 53, что означает, что нам нужно поставить 3 перегородки на 53 любых места - здесь поможет буква С :)
Подсказка 3
Возможно, у вас возник вопрос, а не упустили ли мы моменты, когда саквояжей какого-то определенного цвета просто нет? Нет, не упустили, ведь мы дали для перегородок именно 53 места, что означает, что сами перегородки можно ставить рядом - тогда это будет означать, что саквояжей какого-то цвета действительно ноль, на то a, b, c, d ≥ 0, а не просто >0.
Первое решение.
Пусть шары — это саквояжи. Перегородки между ними — разбиение 
саквояжей по цветам. Рассмотрим случаи:
В первом случае в покупку входят саквояжи всех четырех цветов. Тогда поставим между 
шарами 
перегородки: число шаров,
лежащих слева от первой перегородки, равно числу саквояжей первого цвета; число шаров, лежащих между первой и второй — второму и
т.д. Мест для перегородок 
поэтому в этом случае получаем 
способов.
Во втором случае в покупке присутствуют саквояжи трёх из четырех цветов. Выбрать их 
способа. Ставим 
перегородки на
мест — 
способов. Итого в этом случае получаем 
способов.
В третьем случае в покупку входят саквояжи двух цветов. Есть 
их выбрать. Затем ставим одну перегородку между 
шарами:
способов. Итого в этом случае получаем 
В четвертом случае в покупку входят саквояжи только одного цвета. Есть 
способа его выбрать
Суммируя способы во всех случаях, получаем 
Второе решение.
Старуха Шапокляк может взять школьную тетрадку в клетку и отметить там ряд из 
клеток. Затем в произвольных 
разных
клетках этого ряда она ставит крестики. Передав этот листок продавцу, она ставит условие: число клеток, лежащее слева от первого
крестика, равно числу саквояжей первого цвета; число клеток, лежащих между первым и вторым крестиком, равно числу саквояжей
второго цвета, число клеток, лежащее правее третьего крестика, равно числу саквояжей 
-ого цвета. При этом, если левее первого
крестика, между какими-либо двумя крестиками, или правее 
-го крестика нет клеток, значит, в покупке не будет саквояжей
соответствующего цвета.
Тем самым число вариантов покупки равно числу способов расстановки 
крестика на 
различных позициях, то есть равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
