Многочлены

Вспомним простой факт про сумму коэффициентов многочлена после раскрытия скобок.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть дан многочлен степени :

Сумма коэффициентов многочлена определяется как сумма всех .

Теперь заметим, что если мы подставим в многочлен , то каждый член многочлена преобразуется следующим образом:

То есть, когда мы подставляем , все степени превращаются в единицу, и остается только коэффициент перед каждой степенью. Таким образом, подставляя в многочлен, мы получаем сумму всех его коэффициентов:

Именно поэтому сумма коэффициентов многочлена равна значению этого многочлена при .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь вернёмся к нашей задаче. Нам нужно найти сумму коэффициентов многочлена . Как мы уже выяснили, эта сумма равна значению многочлена при :

Таким образом, сумма всех коэффициентов многочлена равна 1.

Рассмотрим После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых

Заметим, что сумма всех коэффициентов

равна

Значит, она равна

Итак, надо найти коэффициент при то есть

Так как то при раскрытии скобок третья степень получается только следующими способами:

Количество одночленов первого вида равно числу способов выбрать 2 различных элемента (2 скобки , из которых берётся и соответственно) из 20. Это количество равно

Количество одночленов второго вида равно числу способов выбрать 3 скобки в которых берётся из 20 (в остальных в произведение при раскрытии будет браться ). Это количество равно

В итоге

Для начала заметим, что при построении нового многочлена свободный член не меняется, так что

Давайте докажем по индукции, что у всегда есть отрицательный корень.

База: при есть корень

Шаг: Пускай у есть отрицательный корень Тогда а так что по теореме о промежуточном значении у нового многочлена есть корень между и

Обозначим эти чудесные многочлены как и . Из условия следует, что разность этих многочленов имеет 2024 корня, нетождественна равна нулю (потому что многочлены различные) и может иметь степень не выше 2024. Поэтому при каком-то ненулевом числе можно записать

В условии спрашивают, может ли быть Представим в виде и посчитаем производную произведения

Получаем, что в точке 2023 производная не равна нулю:

Из исходного равенства заключаем, что кратно После взятия производной имеем

следовательно, кратно наконец

кратно так же из следует, что НОД Таким образом, многочлен кратно следовательно,

C другой стороны, из изначального равенства, имеем

что влечет противорчие.

Производная многочлена равна

Видно, что 36 корней этого выражения являются корнями многочлена или его производной (могут быть одновременно корнями и многочлена, и производной).

По теореме Ролля между каждыми двумя корнями многочлена находится корень производной, не являющийся при этом корнем многочлена. Поэтому если у многочлена хотя бы 19 корней, то у его производной хотя бы 18 отличных от этих 19 корней. Так что суммарно уже хотя бы различных корней, а это уже больше 36.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма (доказывать на олимпиаде не требовалось): Если число является корнем многочлена кратности то для производной число является корнем кратности

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример на 18 корней строится так: рассмотрим многочлен

У него и у его производной 18 корней, но есть общий (только общий по лемме, оставшиеся 17 корней находятся между корнями по теореме Ролля). Тогда у 35 корней.

Но при достаточно маленьком (можно взять конкретное ) многочлен будет иметь так же 18 корней и такую же производную, но будет иметь уже 36 корней за счёт того, что перестанеть являться корнем .

Среди подряд идущих целых чисел , , …, есть хотя бы кратных двум, хотя бы кратных , и т.д. Значит, суммарная степень вхождения в их произведение не меньше

Поэтому все значения многочлена в целых точках кратны

Поделим на с остатком: . Поскольку старший член равен 1, , причем будет удовлетворять тем же условиям, которым удовлетворяет , и к тому же будет иметь степень не выше . Поделив его на , мы получим многочлен степени не выше , значения которого подряд идущих целых точках целые. Из этого следует, что целыми являются все его значения в целых точках (это доказывается по индукции с использованием разностного многочлена). Таким, образом, у многочлена все значения в целых точках кратны , а тогда это верно и для многочлена .

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

В левой и правой части взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

Заметим, что левая часть равна Тогда получаем равенство

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

Тогда по теореме Виета

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

то есть

Тогда можно представить в виде

Так как мы знаем про наличие трёх корней то и где

Не умаляя общности, В итоге поэтому требуемое верно.

Понимаем, что при раскрытии скобок степень каждого одночлена будет иметь вид где — количество взятых — количество взятых Поэтому решим сначала уравнение в натуральных числах

Нетрудно заметить решение а также что это решение единственное, т.к. иначе, чтобы сохранить нужные остатки, будет изменяться на кратное 15 число, а на кратное 17, поэтому одно из них станет отрицательным.

Осталось лишь посчитать количество способов выбрать комбинацию из двух и одного в 6 скобках:

Первое решение. Введём обозначение , для . Тогда рассматриваемое нами выражение равно

где — основной симметрический многочлен степени . Найдём многочлен, корнями которого являются , т. е.

Сделав замену , получим многочлен

Теперь, сделав обратную замену, для получаем

По теореме Виета

поэтому , и, поскольку не кратно , сокращение произойдёт на число, взаимно простое с , т. е. . _______________________________________________________________________________________

Второе решение. Рассмотрим дроби вида , входящие в нашу сумму, как дроби по модулю (значением дроби по модулю , где , считается решение сравнения ; при сложении обыкновенных дробей со знаменателями, не кратными , соответствующие им дроби по модулю также складываются).

Как известно, все числа от 2 до можно разбить на пары в которых . Сложим члены, соответствующие числам и которые составляют такую пару:

(так как ). Складывая таких сумм и оставшиеся три слагаемых, получаем, что искомая сумма сравнима по модулю с что и требовалось доказать.

Пусть данный в условии многочлен с ненулевыми коэффициентами:

По условию — корень этого многочлена, где . И тогда:

Тогда делится на все остальные коэффициенты многочлена , а значит . Следовательно, достаточно проверить, что .

Докажем это по индукции по степени многочлена .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База индукции:

При (чего не могло быть по условию). При

И тогда , а , откуда .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход индукции.

Так как и , имеем . Тогда делится на . Как показано выше делится на . Значит, делится на , что возможно только при

Если , то , и утверждение доказано.

Если , то преобразуем выражение дальше:

Опять-таки получаем, что

Тогда , что возможно только если . В случае если , то мы пришли к выражению вида

где , имеющее тот же вид, что и , но степени на меньшей. Из предположения индукции отсюда следует, что .

Если же , то домножим равенство на (эта операция не влияет на делимости коэффициентов и получим:

Для которого снова применимо предположение индукции, а значит .

Предположим противное — существуют такие многочлены и , что выполнено тождество .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первое решение.

У многочленов и нет общих корней, иначе это будет кратный корень суммы кубов, а у многочлена кратных корней нет.

Тогда многочлен имеет степень ) (старшие коэффициенты не сократятся) и не имеет корней, поскольку выражение равно 0 только при . Но такого делителя у многочлена нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Применим формулу суммы кубов:

При имеем , откуда , то есть .

Значит, многочлен имеет корнями числа , откуда его степень не меньше (поскольку он не тождественный ноль). В частности, у одного из многочленов и степень не меньше — не теряя общности, пусть у . Тогда, из равенства (*), степень многочлена равна 0 , то есть это ненулевая константа. Но это невозможно, так как из представления видно, что у этого многочлена старшая степень не меньше, чем максимум из степеней многочленов и , то есть, не меньше . (Можно сказать иначе: принимает сколь угодно большие значения, откуда - тоже, то есть, последний многочлен не может быть константой).

Предположим, что среди восьми сумм циклов циклов не более различных. Тогда какая-то сумма встречается хотя бы раза. Обозначим ее через Рассмотрим многочлен Заметим, что для любого такого, что имеет место равенства

Тогда у многочлена есть не менее различных корней, но — противоречие.

Выберем 4 попарно различных числа Рассмотрим многочлены

при (нумерация переменных циклическая по модулю ). Тогда

Тогда понятно, что значение каждой пары из выбранных трехчленов совпадают по модулю в точках Также понятно, что все трехчлены различны и никакие два не противоположны (у любых двух трехчленов в двух точках значения совпадают, а в двух других противоположны).

Пусть Если то

откуда получаем

Обозначим через Тогда Понятно, что при достаточно больших (по модулю) выражения и будут иметь один и тот же знак, а значит одинаковый знак имеют и числа Тогда откуда при достаточно больших выполнено

так как коэффициент при у равен (по модулю больше ). Поэтому может принимать лишь конечное число значений. Поскольку пар по условию бесконечно много, какое-то значение принимается бесконечное число раз. Но в этом случае в равенстве выражение будет по модулю сколь угодно большим, а все остальное фиксированным, поэтому, если то получим противоречие. Значит, что и требовалось.

Обозначим наш многочлен через

Предположим, что Тогда коэффициент перед слева будет равен а справа — откуда получаем противоречие. Значит, Если то для некоторого вещественного откуда то есть Если то для некоторых вещественных и Имеем откуда а — любое.

Предположим, что существует такое, что Тогда, подставив получаем То есть уравнение имеет вещественный корень. Значит, его дискриминант неотрицателен, откуда то есть То есть при многочлен не будет иметь вещественных корней. Если же то пусть Поскольку дискриминант не меньше данный многочлен будет иметь вещественный корень.

Заметим, что, если все коэффициенты кроме и равны то утверждение задачи очевидно. Достаточно доказать, что можно произвести одно вычеркивание так, чтобы новый многочлен также имел действительный корень. Рассморим наибольшие такие, что , Если хотя бы одно из чисел и нечетно, то, вычеркнув одночлен при другой степени получим многочлен нечетной степени, то есть он будет иметь вещественный корень. Далее считаем, что и четные. Не умаляя общности . Если то вычеркнем произвольный одночлен, отличный от и Полученый многочлен при больших принимает положительные значения, а в — отрицательное. То есть будет иметь корень. Значит, Если то, вычеркнув по аналогичным соображениям получаем многочлен, имеющий корень. Наконец, если то вычеркнем Пусть — корень многочлена Тогда но при больших полученный многочлен принимает положительные значения. Значит, он снова будет иметь действительный корень.

Не умаляя общности, пусть Рассмотрим многочлен Заметим, что все корни многочленов и являются корнями многочлена Заметим, что в сумме у многочленов и ровно корней (с учетом кратности). При этом каждый из корней этих многочленов входит с кратностью на один меньше в производную Всего у производной не более корня, поэтому суммарно различных корней у и не меньше Значит, откуда

Поскольку откуда Рассмотрим многочлен

Раскрыв скобки по биному Ньютона в данном многочлене, получим, что

Подставив получим многочлен, у которого коэффициент при в каждом из слагаемых равен 0 (так как ). С другой стороны коэффициент при у многочлена также равен Значит, и у многочлена коэффициент при также равен