Перебор случаев

Первое решение.

В числе всего цифра. Если мы хотим посчитать числа только с четными цифрами, то на первом месте может стоять или . Если число начинается с , то такое число среди необходимым нам только одно. Здесь число может начинаться на 0, так как нам нужны не только -значные числа, а число, например, можно представить, как . Тогда всего чисел с четными цифрами будет . Это верно, поскольку с одной стороны на каждом месте, кроме первого, может стоять любая четная цифра, но таким образом у нас получится и число, состоящее только из 0, поэтому мы вычитаем 1, а с другой стороны тут мы забыли про число , которое нужно добавить. Итого чисел.

Так же посчитать числа с нечетными цифрами нельзя, поскольку среди них нуля уже нет. Давайте посчитаем только -значные числа с нечетными цифрами. Тогда их будет , так как на всех местах, кроме первого, может быть любая из 5 нечетных цифр, а на первом месте не может быть только . Отсюда уже понятно, что чисел с нечетными цифрами больше. Посчитаем, сколько меньших чисел с нечетными цифрами. Понятно, что однозначных чисел у нас 5, двухзначных — , трехзначных — , , 20-значных — . Поэтому разница между количеством чисел с нечетными цифрами и количеством чисел с четными цифрами будет равна

(Здесь вам могут снять баллы, если вы оставите ответ, как выражение с многоточием, так что лучше сложить эту геометрическую прогрессию.)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Давайте посмотрим, как превратить число с четными цифрами в число с нечетными цифрами. Можно прибавить 1 ко всем цифрам. Тогда заметим, что все нужные нам числа с четными цифрами в нужные нам числа с нечетными цифрами (кроме ), то есть часть чисел мы разбили на пары, где одно число с нечетными цифрами, а другое с четными цифрами, и в этих парах есть все числа с четными цифрами, кроме . Давайте посмотрим, есть ли у нас числа с нечетными цифрами, которые не участвуют в парах. Заметим, что у каждого числа с четными цифрами первая цифра хотя бы (здесь мы считает настоящие числа и они не могут начинаться с нуля), а значит у числа в паре с ними первая цифра хотя бы , поэтому вне пар у нас остались все числа с нечетными цифрами, у которых первая цифра . -значных чисел с нечетными цифрами, у которых первая цифра 1 ровно . Тогда разница между количеством чисел с нечетными цифрами и количеством чисел с четными цифрами будет равна

(-1 из-за )