Перебор случаев
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Паша, Оля и Саша играли в тетрис. Тот, кто побеждал в очередном раунде, получал одно очко, остальные — по 0. Побеждает тот, кто первым наберёт 101 очко. Оле очень не везло: у неё всё ещё было 0 очков, когда один из остальных двух участников уже набрал 100. Но потом она собралась с силами и победила, при этом у Паши и Саши было по 100 очков. Сколько существует последовательностей побед, при которых такое могло произойти?
Подсказка 1
Заметим, что до последней победы Оли у всех ребят было по 100 побед. Тогда нам надо разобрать два симметричных случая, когда Саша или Паша набрали 100 очков, а у Оли было на тот момент 0 очков, как это можно сделать?
Подсказка 2
Да, скажем, что на первых 100 местах были победы Саши, на последних 100 местах были победы Оли, а для побед Паши есть 300 мест(между местами Саши и Оли, а также в начале и в конце), причем их было тоже ровно 100. Сколькими способами можно так распределить победы?
Подсказка 3
Верно, это будет число сочетаний из 300 по 100, аналогично разбирается случай, когда на первых 100 местах были победы Паши! Осталось понять, а не учли ли мы какие-то случаи дважды? Мы смогли гарантировать, что на момент, когда у кого-то из ребят было 100 побед, у Оли было ровно 0 побед, но вот про то, что какие-то способы мы посчитали дважды, пока не думали.
Подсказка 4
Да, мы дважды учли ровно те ряды из побед, когда у Паши и Саши было уже 100 побед, а у Оли еще не было побед. То есть, нам надо вычесть все одинаковые последовательности длины 200 из побед только Саши и Паши. То есть надо вычесть число сочетаний из 200 по 100.
Будем писать букву П, О или С, если в очередном раунде побеждает Паша, Оля или Саша соответственно. Из условия следует, что последнюю победу одержала Оля; отбросим эту победу, количество подходящих последовательностей не изменится.
Посчитаем сначала последовательности, в которых Саша набрал 100 очков, когда у Оли всё ещё было 0 очков. Подходят те
последовательности букв, которые можно получить так: сначала написать 100 букв С, потом 100 букв О, а где-то между ними (а также в
конец или начало ряда) нужно вставить 100 букв П. Это означает, что нам нужно из 300 объектов выбрать 100, которые будут
П-шками, из оставшихся 200 объектов первые 100 будут С-ками, последние 100 — О-шками. Количество способов равно
.
Последовательностей, в которых Паша набрал 100 очков, когда у Оли всё ещё было 0 очков, столько же, но некоторые подходящие
последовательности посчитаны дважды: те, в которых и Саша, и Паша набрали по 100 очков, а у Оли было в этот момент
0. Во всех таких последовательностях на конце будет 100 букв О, и нам нужно выбрать порядок для первых 200 букв,
причём 100 из них — П-шки, оставшиеся 100 — С-ки. Количество способов равно 
, и эти способы нужно отнять, что даёт
ответ.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
