Раскрываем скобки комбинаторными рассуждениями

Первое решение.

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых будет столько, сколько различных степеней встречается в итоговом выражении. Попробуем сначала раскрыть степени, не вычисляя коэффициентов перед степенями - эти числа будем обозначать просто как и (

Итак, выражение из условия после раскрытия скобок и приведения подобных будет иметь вид

И по условию задачи нам нужно понять, сколько различных значений может быть у показателей степеней при заданных ограничениях на и :

• при получим все чётные числа от до
• при получим все нечётные числа от до
• при получим все нечётные числа от до
• при получим все чётные числа от до

В итоге делаем вывод, что выражение принимает все различные значения от до (таких значений ), кроме нечётных чисел Получаем ответ — значений.

Второе решение.

Давайте заметим, что у нас получится многочлен не более, чем степени. Посмотрим, какие степени будут встречаться после раскрытия скобок, но до приведения подобных. Если у нас будет степень , то мы могли ее получить как перемножение не более 10 множителей (пусть штук), не более 20 множителей (пусть штук) и нескольких единиц. Тогда , где и . Понятно, что мы получим. Заметим, что числа и не получить, так как если , то , а если , то . Так же понятно, что и нам не получить, так как должно быть равно 0, но тогда .

Проверим, что остальные степени получатся. Сначала переберем несколько простых случаев.

Осталось проверить .

. Рассмотрим числа и . Одно из них четное, поэтому одно из разложений или подходит.

. Рассмотрим числа и . Одно из них четное, поэтому одно из разложений или подходит.

. Рассмотрим числа и . Одно из них четное, поэтому одно из разложений или подходит.

Значит, среди слагаемых будут степени и все от до , то есть всего различных слагаемых. Коэффициент перед каждым слагаемым , поэтому при приведении подобных количество слагаемых не уменьшится.