Раскрываем скобки комбинаторными рассуждениями

В результате раскрытия скобочек и приведения подобных мы получим многочлен степени притом степень при любом его одночлене имеет вид

Попробуем понять, какие числа представляются в таком виде, а какие — нет. Если рассмотреть числа от до то с помощью небольшого перебора мы понимаем, что все, кроме и представимы в нужном виде.

Теперь приведём алгоритм, который позволит записать числа от до в нужном виде, учитывая, что количество троек не больше а количество четвёрок не больше Нетрудно видеть, что Далее будем вычитать из числа тройку и добавлять четвёрку. Если в представлении ноль троек, уберём три четвёрки и добавим четыре тройки, далее по алгоритму. Остановимся как раз на числе которое состоит из четвёрок.

Число мы можем получить, если взять четвёрок и троек. Числа и мы получить не сможем, потому что вычитая из мы получаем не больше, чем Число мы получаем из четвёрок и четвёрок. Число мы получим из четвёрок и троек. Число мы не получим, потому что нельзя убрать из сколько-то четвёрок или троек, чтобы число уменьшилось на Число мы наберём из четвёрок и троек. Числа и из четвёрок, троек и четвёрок, троек. из четвёрок и троек, из четвёрок и троек. Число — из четвёрок и троек, — из четвёрок и троек. Далее мы можем вычитать четвёрку и добавлять тройку. Если возникает переполнение по тройкам, убираем четыре тройки и добавляем три четвёрки. Таким образом мы получим все числа от до кроме и Итого слагаемых.