Тема . Делимость и делители (множители)

Условия про НОД и НОК

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела делимость и делители (множители)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105489

Докажите, что

                      a+-b+-c
Н ОД(ab+1,bc+1,ca +1)≤    3

для попарно различных a,  b,  c.

Показать доказательство

Так как наибольший общий делитель, назовем его d,  делит числа ab+1,bc+1,ca+1,  то d  делит и их разности, имеем:

Н ОД(ab+1,bc+ 1,ca +1)= НОД(b(a − c),c(b− a),a(c− b))

Так как d  делит ab+ 1,  то d  взаимнопросто с a  и b,  аналогично и с c,  тогда

НОД(b(a− c),c(b− a),a(c− b))= НОД(a− c,b− a,c − b)

Пусть a> b>c.  Положим b= c+β,a= c+ α+ β,  где α,β >0.  Наибольший общий делитель чисел не превосходит меньшего из них по модулю, тогда α≥ d  и β ≥ d.

Необходимо доказать, что 3c+2β+α≥ d,
  3  это уже очевидно ведь 2β+α-≥ d.
 3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!